Можно ли взять отпуск вскоре после смены должности?

Вы же не сменили работодателя, поэтому все как обычно: только график предоставления отпуска может измениться(смотри ст.122 КЗоТ РФ).

В соответствии со ст.122 ТК, право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя. По соглашению сторон оплачиваемый отпуск работнику может быть предоставлен и до истечения шести месяцев.
До истечения шести месяцев непрерывной работы оплачиваемый отпуск по заявлению работника должен быть предоставлен:
женщинам - перед отпуском по беременности и родам или непосредственно после него;
работникам в возрасте до восемнадцати лет;
работникам, усыновившим ребенка (детей) в возрасте до трех месяцев;
в других случаях, предусмотренных ФЗ.
Отпуск за второй и последующие годы работы может предоставляться в любое время рабочего года в соответствии с очередностью предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков, установленной у данного работодателя.
От вас необходимо письменное заявление, в котором объясните, почему вам требуется отпуск в неустановленное время.
Руководитель фирмы может отказать сотруднику в просьбе изменить запланированную дату отпуска, мотивируя неуважительностью причины. Это касается и тех случаев, когда сотрудник просит вместо целого отпуска предоставить ему часть, а остаток перенести на другое время или изменить запланированные даты частей отпуска (ст. 125 ТК РФ).

Смена должности не влияет на предоставление отпуска. Влияет время фактической работы в организации.