Может ли заряженная частица, двигаясь в постоянном магнитном поле, увеличить свою энергию за счет энергии поля? И почему?

Магнитное поле действует на заряженную частицу силой, которая всегда действует перпендикулярно скорости. Поэтому она не может изменить энергию частицы, а только меняет направление её движения. Примерно так же поворот руля не даёт автомобилю никакой дополнительной энергии.

Согласно ньютоновской механике, да, может. Если поле разгоняет частицу со скорость V1 до скорости V2, то полученная частицей энергия найдётся так:
E1=mV1^2/2, E2=mV2^2/2, dE=(mV2^2 - mV1^2)/2.
Общая Теория Относительности гласит, что полная энергия тела равна произведению массы тела на квадрат скорости света:
E=mc^2.
Т.к. поле ни одну из величин не меняет, энергия не меняется.
В иных теориях всё может быть иначе. Чтобы опровергнуть или доказать доводы, приводимые разными учёными, запускают Коллайдер в Европе - LHC.

Любая движущаяся частица,по мере ускорения увеличивает свою энергию.Хотя энергия понятие растяжимое