Возможно ли получить от государства матери одиночке квартиру? Куда обратиться и что для этого надо?

Практически невозможно.
По закону, правом на социальное (бесплатное) жильё обладают граждане, в законном порядке признанные малоимущими - т.е. имеющие доходы ниже величины прожиточного минимума. Если это про Вас - обращайтесь в администрацию с документами. И Вас поставят в очередь нуждающихся в улучшении жилищных условий. Теоретически, Вы должны получить жильё площадью, исходя из социальных норм. Эти нормы в каждом субъекте федерации - свои. Примерно 16-18 кв. метров на каждого члена семьи.
На практике, социального жилья в муниципалитетах нет. Те, что есть в наличии, уже занято, а новое жильё практически не строится. Печально, но вы можете простоять в очередь всю жизнь.
То, что Вы - мать-одиночка, значения не имеет.