Если почтовый ящик создавался на старом сервере, нужно ли его удалять для безопасности?

Не нужно ничего пугаться и ничего закрывать тоже не нужно. Просто яндекс не заботится об обновлении цифровых сертификатов, хотя в безопасности толк тамошние ребята понимают. В общем, это ничем не грозит, а если предупреждение раздражает, то можно проделать довольно простую операцию (если у вас Internet Explorer):
1. Зайти в меню "Сервис" - "Свойства обозревателя"
2. Там выбрать вкладку "Содержание"
3. Нажать кнопку "Очистить SSL"
4. Перезапустить браузер.
Тогда служба Яндекс.Паспорт предложит сертификат заново, на тот же срок.

Но, по-хорошему, я бы посоветовал отключить центр безопасности - пользы от него ни на грош, а солидность как инструмента безопасности - дутая.